简介

最近经常演人/被人演，所以是时候学一学反演了。

本文会从初等数论角度介绍 莫比乌斯反演公式 (Mobius inversion formula)，不过如果我们借助一点抽象代数知识引入 狄利克雷卷积 (Dirichlet convolution) 的话便能得到更加优雅的推导~ 因此强烈安利另一篇姊妹博文：数论函数与狄利克雷卷积。

莫比乌斯函数

定义

对于正整数 $n$ ，若对其分解质因数有 $n = p_1^{c_1} p_2^{c_2} \dots p_k^{c_k} \ (c_i > 0)$ ，则：

$$\mu(n) = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & \exists c_i > 1 \\ (-1)^k & \text{otherwise} \end{cases}$$

通俗地来讲，当 $n = 1$ 时，$\mu(n) = 1$ ；当 $n$ 的因子中存在完全平方数时，$\mu(n) = 0$ 。对于剩余情况，也就是对 $n$ 质因数分解可得到 $n = p_1p_2 \dots p_k$ 的情况，$\mu(n) = (-1)^k$ ，即 $\mu(n)$ 的值取决于 $n$ 不同质因数的个数。

不难发现，若 $a, b$ 互质，则有 $\mu(ab) = \mu(a)\mu(b)$ 。根据线性筛那一套理论，我们可以很容易地筛出 $\mu$ 。

性质

$$\sum\limits_{d \mid n} \mu(d) = \begin{cases} 1 & n = 1\\ 0 & \text{otherwise} \\ \end{cases}$$

下面给出简要证明：

1. $n = 1$ 时，显然有 $\sum\limits_{d \mid n} \mu(d) = 1$ ；
2. $n \neq 1$ 时，有 $k > 0$ 。记 $n = p_1^{c_1}p_2^{c_2} \dots p_k^{c_k} \ (c_i > 0)$ 。对于 $d \mid n$ ，$\mu(d) \neq 0$ 当且仅当 $d$ 中不存在完全平方数因子。显然，具有 $i$ 个质因数的 $d$ 有 $\binom{k}{i}$ 个。因此，$\sum\limits_{d \mid n} \mu(d) = \sum\limits_{i = 0}^{k} (-1)^k\binom{k}{i}$ 。我们不难观察发现，这个式子就是一个二项式展开，即 $(1 - 1)^k$ ，故其值为 $0$ 。

莫比乌斯反演

形式 #1

内容

定义 $F(n), f(n)$ 均为非负整数集合上的两个函数，则有：

$$F(n) = \sum\limits_{d \mid n}f(d) \Leftrightarrow f(n) = \sum\limits_{d \mid n} \mu(d)F(\frac{n}{d})$$

简而言之，利用莫比乌斯反演，只要我们知道 $F(n)$ 或是 $f(n)$ 中一者的定义，就可以推知另一者的具体定义。

证明

下面我们给出莫比乌斯反演的一种简要证明：

$$\begin{aligned} \sum\limits_{d \mid n} \mu(d)F(\frac{n}{d}) = & \sum\limits_{d \mid n} \mu(d) \sum\limits_{k \mid \frac{n}{d}} f(k) \\ = & \sum\limits_{k \mid n} f(k) \sum\limits_{d \mid \frac{n}{k}} \mu(d) \\ \end{aligned}$$

由前文提到的性质，当且仅当 $\frac{n}{k} = 1$ 时 $\sum\limits_{d \mid \frac{n}{k}} \mu(d) = 1$ ；否则该式值为 $0$ 。所以：

$$\begin{aligned} \sum\limits_{d \mid n} \mu(d)F(\frac{n}{d}) = f(k) \end{aligned}$$

得证。

形式 #2

内容

定义 $F(n), f(n)$ 均为非负整数集合上的两个函数，则有：

$$F(n) = \sum\limits_{n \mid d}f(d) \Leftrightarrow f(n) = \sum\limits_{n \mid d} \mu(\frac{d}{n})F(d)$$

注意这一形式与上一形式最大的不同点，即求和条件由 $d \mid n$ 变为 $n \mid d$ 。

证明

令 $t = \frac{d}{n}$ ，有：

$$\begin{aligned} \sum\limits_{n \mid d} \mu(\frac{d}{n})F(d) = & \sum\limits_{t = 1}^{+\infty}\mu(t)F(nt) \\ = & \sum\limits_{t = 1}^{+\infty}\mu(t)\sum\limits_{nt \mid k}f(k) \\ = & \sum\limits_{n \mid k}f(k)\sum\limits_{t \mid \frac{k}{n}}\mu(t) \end{aligned}$$

由前文提到的性质，当且仅当 $\frac{k}{n} = 1$ 时 $\sum\limits_{t \mid \frac{k}{n}}\mu(t) = 1$ ，否则该式值为 $0$ 。所以：

$$\sum\limits_{n \mid d} \mu(\frac{d}{n})F(d) = f(n)$$

应用

当 $F(n)$ 和 $f(n)$ 中一者容易求得，而另一着不易求得时，我们可以借助莫比乌斯反演来求得不易求得的函数。

与欧拉函数联系

这里我们尝试应用一下莫比乌斯反演来推导莫比乌斯函数 $\mu(n)$ 与欧拉函数 $\varphi(n)$ 间的关系。

首先欧拉函数有一个性质：

$$\sum\limits_{d \mid n} \varphi(d) = n$$

那么我们不妨令 $F(n) = \sum\limits_{d \mid n} \varphi(d) = n$ ，运用莫比乌斯反演可得：

$$\begin{aligned} \varphi(n) = & \sum\limits_{d \mid n} \mu(d)F(\frac{n}{d}) \\ = & \sum\limits_{d \mid n} \mu(d) \cdot \frac{n}{d} \end{aligned}$$

整理后可得：

$$\sum\limits_{d \mid n} \frac{\mu(d)}{d} = \frac{\varphi(n)}{n}$$

注：其实这个结论也可以利用 $\varphi(n)$ 的计算公式加上容斥原理得出，而在其过程中，实际上容斥系数就是 $\mu(d)$ 。

与最大公约数联系

给定 $n, m$ ，求满足 $1 \le i \le n, \ 1 \le j \le m, \ \gcd(i, j) = 1$ 的数对 $\langle i, j \rangle$ 个数（其中 $\langle a, b \rangle$ 和 $\langle b, a \rangle$ 算两个不同的数对）。

换言之，即求：

$$\sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{m} [\gcd(i, j) = 1]$$

暴力的做法显然复杂度是 $\mathcal{O}(n^2)$ 级别的。

我们可以考虑利用莫比乌斯函数的性质：

$$\begin{aligned} \sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{m} [\gcd(i, j) = 1] = & \sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{m}\sum\limits_{d \mid \gcd(i, j)}\mu(d) \\ = & \sum\limits_{d = 1}^{\min(n, m)}\mu(d) \sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{m} [d \mid \gcd(i, j)] \\ = & \sum\limits_{d = 1}^{\min(n, m)} \mu(d)\left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor \left\lfloor \frac{m}{d} \right\rfloor \end{aligned}$$

我们可以用线性筛以 $\mathcal{O}(N)$ 的复杂度预处理出 $\mu(n)$ 的前缀和从而能够 $\mathcal{O}(1)$ 回答 $\mu(n)$ 的区间和。而面对询问时，我们可以用 $\mathcal{O}(\sqrt{N})$ 的复杂度进行整除分块并进行求解。

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那么如果我们要求的是 $\gcd(i, j) = k$ 怎么办？我们仅需做如下变换：

$$\sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{m} [\gcd(i, j) = k] = \sum\limits_{i = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor}\sum\limits_{j = 1}^{\left\lfloor \frac{m}{k} \right\rfloor} [\gcd(i, j) = 1]$$

接下来就跟之前的做法一样咯，所以我们能得到：

$$Ans = \sum\limits_{d = 1}^{\min(\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{m}{k} \right\rfloor)} \mu(d) \left\lfloor \frac{n}{kd} \right\rfloor \left\lfloor \frac{m}{kd} \right\rfloor$$

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当然，我们也可以向莫比乌斯反演的的方向进行考虑。

我们不妨记 $f(k)$ 代表满足 $\gcd(i, j) = k$ 的 $\langle i, j \rangle$ 对个数。那么 $F(k) = \sum\limits_{k \mid d}f(d)$ 的意义即为满足 $k \mid \gcd(i, j)$ 的 $\langle i, j \rangle$ 对数。而求满足 $1 \le i \le n, \ 1 \le j \le m$ 范围内 $k \mid \gcd(i, j)$ 这一条件的对数显然等价于 $1 \le i \le \left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor, \ 1 \le j \le \left\lfloor \frac{m}{k} \right\rfloor$ 范围内 $1 \mid \gcd(i, j)$ 的对数（显然在此范围内的所有数对都满足这一条件）。由此我们可以很容易得到 $F(k)$ 的具体定义：

$$F(k) = \left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor \left\lfloor \frac{m}{k} \right\rfloor$$

接下来我们就可以利用莫比乌斯反演直接得到 $f(k)$ 的具体定义了：

$$\begin{aligned} f(k) = & \sum\limits_{k \mid d} \mu(\frac{d}{k})F(d) \\ = & \sum\limits_{k \mid d} \mu(\frac{d}{k}) \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor \left\lfloor \frac{m}{d} \right\rfloor \\ \end{aligned}$$

不妨令 $t = \frac{d}{k}$ ，我们便得到了跟之前一样的结果：

$$f(k) = \sum\limits_{t = 1}^{\min(\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{m}{k} \right\rfloor)} \mu(t) \left\lfloor \frac{n}{tk} \right\rfloor \left\lfloor \frac{m}{tk} \right\rfloor$$

至于更多的应用，强烈安利这篇博文： 莫比乌斯反演-让我们从基础开始。

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